Đa thức hermite là gì? Các nghiên cứu khoa học liên quan

Định nghĩa Đa thức Hermite

Đa thức Hermite là họ đa thức trực giao trên tập số thực \(\mathbb{R}\) với hàm trọng số \(w(x)=e^{-x^2}\). Ký hiệu “physicists’ Hermite” thường dùng \(H_n(x)\), trong khi “probabilists’ Hermite” dùng \(He_n(x)\). Cả hai định nghĩa có hệ số khác nhau nhưng cùng thỏa mãn tính trực giao và nhiều tính chất cơ bản.

Đa thức Hermite xuất hiện tự nhiên trong giải tích tổ hợp, lý thuyết xác suất và cơ học lượng tử. Chúng đóng vai trò then chốt trong mô tả dao động điều hòa, định nghĩa các chức năng đặc trưng (generating functions) và khai triển các phân phối xác suất gần với phân phối Gaussian.

Đặc biệt, trong xác suất, “probabilists’ Hermite” \(He_n(x)\) liên quan mật thiết đến moment chuẩn hóa của phân phối chuẩn. Còn trong vật lý, “physicists’ Hermite” \(H_n(x)\) xuất hiện trong nghiệm của phương trình Schrödinger cho dao động điều hòa tử nguyên.

Định nghĩa qua Rodrigues’ Formula

Rodrigues’ formula cung cấp công thức đóng cho đa thức Hermite dưới dạng đạo hàm bậc n của hàm mũ. Đối với “physicists’ Hermite” ta có: $H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$. Công thức này thể hiện rõ tính đối xứng và hệ số bậc cao của \(H_n\).

Trong khi đó, “probabilists’ Hermite” được định nghĩa bởi: $He_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}$. Sự khác biệt chủ yếu nằm ở hàm mũ có hệ số \(\tfrac12\), làm thay đổi tỉ lệ hệ số dẫn đến hai họ đa thức không hoàn toàn giống nhau.

• Rodrigues’ formula giúp chứng minh trực giao và tính chất chuẩn hóa.
• Dễ dàng suy ra bậc của \(H_n\) bằng cách quan sát đạo hàm bậc cao nhất.
• Công thức này mở đường cho các phương pháp tính toán hiệu quả khi cần giá trị hoặc hệ số đa thức.

Hàm sinh (Generating Function)

Hàm sinh tổng quát (generating function) là công cụ mạnh để khai triển \(H_n(x)\) hoặc \(He_n(x)\) thành chuỗi đa thức. Với “physicists’ Hermite”: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{H_n(x)}{n!} t^n = e^{2 x t - t^2}$. Biểu thức này thể hiện thông tin của toàn bộ họ đa thức chỉ qua một hàm mũ đơn giản.

Đối với “probabilists’ Hermite”, hàm sinh tương ứng là: $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{He_n(x)}{n!} t^n = e^{x t - \tfrac{1}{2}t^2}$. Hàm sinh này thường dùng trong khai triển Edgeworth và tính toán moment mở rộng của phân phối Gaussian.

Hàm sinh cho phép dễ dàng chứng minh quan hệ truy hồi, trực giao và các biểu thức tích phân liên quan đến đa thức Hermite.

Quan hệ truy hồi (Recurrence Relation)

Quan hệ truy hồi cho phép tính giá trị \(H_{n+1}(x)\) và \(He_{n+1}(x)\) dựa trên hai bậc trước đó, giảm độ phức tạp tính toán xuống O(n). Với “physicists’ Hermite”: $H_{n+1}(x) = 2x\,H_n(x) - 2n\,H_{n-1}(x)$.

Trong khi đó, “probabilists’ Hermite” thỏa mãn: $He_{n+1}(x) = x\,He_n(x) - n\,He_{n-1}(x)$. Sự khác biệt hệ số 2 xuất phát từ định nghĩa hàm trọng số khác nhau.

• Quan hệ truy hồi giảm thiểu nhu cầu tính đạo hàm trực tiếp.
• Thích hợp cho thuật toán sinh giá trị đa thức theo thứ tự.
• Giúp phát triển các phương pháp số nhanh như Gauss–Hermite quadrature.

Đẳng thức trực giao (Orthogonality)

Đa thức Hermite thỏa mãn điều kiện trực giao trên \(\mathbb{R}\) với hàm trọng số khác nhau tuỳ theo chuẩn “physicists’” hoặc “probabilists’”. Đối với “physicists’ Hermite” \(H_n\), ta có:

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} H_m(x)\,H_n(x)\,dx = \sqrt{\pi}\,2^n\,n!\,\delta_{mn}$

Trong khi đó, “probabilists’ Hermite” \(He_n\) thỏa mãn:

$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2/2} He_m(x)\,He_n(x)\,dx = \sqrt{2\pi}\,n!\,\delta_{mn}$

Điều này đảm bảo tính độc lập tuyến tính và cho phép mở rộng không gian hàm \(L^2(\mathbb{R},w(x)\,dx)\). Thông qua trực giao, người ta xây dựng các giao động cơ bản cho phân tích phổ và hội tụ chuỗi các hàm cơ bản.

Ứng dụng trong Giải tích và Vật lý

Phương trình vi phân Hermite:

$y''(x) - 2x\,y'(x) + 2n\,y(x) = 0$

là dạng chuẩn cho họ Hermite “physicists’”. Nghiệm của phương trình này cho bởi \(y(x)=H_n(x)\), giúp mô tả dao động điều hòa mức năng lượng rời rạc trong cơ học lượng tử. Khoảng cách giữa các mức là hằng số, dẫn đến phổ rời rạc của oscillator.

Trong giải tích tổ hợp, đa thức Hermite dùng để tính tổng các chuỗi và tích phân Gauss bằng phương pháp Gauss–Hermite quadrature. Cụ thể, các điểm nút và trọng số quadrature được xác định từ các nghiệm của \(H_n(x)\), tối ưu hoá độ chính xác tích phân với hàm trọng số \(e^{-x^2}\).

• Mô tả dao động cơ học và lượng tử cho hạt trong thế parabol.
• Tính tích phân Gaussian đa vòng lặp với độ chính xác cao.
• Giải phương trình đạo hàm riêng (PDE) dạng heat equation và Schrödinger equation.

Ứng dụng trong Xác suất và Thống kê

Trong xác suất, “probabilists’ Hermite” \(He_n(x)\) liên kết với moment của phân phối chuẩn. Ta có:

$E[He_n(Z)] = 0,\quad Z\sim N(0,1)$

Phương pháp Edgeworth expansion sử dụng đa thức Hermite để xấp xỉ hàm mật độ xác suất khi phân phối không hoàn toàn Gaussian, bằng cách thêm các thành phần bậc cao nằm trong họ \(He_n\).

• Tính moment chuỗi của phân phối gần chuẩn.
• Phân tích độ lệch và độ nhọn thông qua hệ số cumulant.
• Ứng dụng trong tài chính định giá quyền chọn bằng mô hình Black–Scholes điều chỉnh biên cạnh drift.

Liên hệ với các họ đa thức khác

Đa thức Hermite có quan hệ chặt chẽ với đa thức Laguerre và Jacobi qua các phép biến đổi Mehler–Heine và liên kết Fourier. Ví dụ, phép biến đổi Fedoryuk mở rộng ánh xạ giữa nghiệm PDE Hermite và Laguerre.

Trong lý thuyết điều khiển, đa phân Hermite–Biehler dùng để khảo sát vị trí cực trị của hàm truyền khối, dựa trên đặc tính không thay đổi dấu của đa thức Hermite mở rộng.

• Mối liên hệ Fourier–Hermite cho phép biến đổi Gauss thành chuỗi Hermite.
• Chuyển tiếp tới đa thức Yay, Chebyshev qua các phép quy nạp bậc thấp.
• Ứng dụng trong phân tích tín hiệu và xử lý ảnh nhờ tính trực giao mang tính tiến–lùi.

Tổng quát và mở rộng

Đa thức Hermite có thể mở rộng thành đa thức nhiều biến (multivariate Hermite) phục vụ mô hình Gaussian vector, được định nghĩa qua đạo hàm đa biến của hàm mũ \(\exp(-\mathbf{x}^T\mathbf{x}/2)\). Điều này quan trọng trong thống kê đa biến và học máy Gaussian Process.

Phiên bản phức (complex Hermite polynomials) xuất hiện trong xử lý tín hiệu quang học và phân tích mode laser, nơi biến phức \(z=x+iy\) được dùng để mô tả cấu trúc cường độ và pha của chùm tia.

Phương pháp CALPHAD tương tự cho phép xây dựng “bề mặt năng lượng” đa biến, hỗ trợ tối ưu hoá tham số trong thiết kế bộ lọc và xấp xỉ đa thức Hermite trên miền phức.

Tài liệu tham khảo

1. Szegő, G., Orthogonal Polynomials, American Mathematical Society, 1939.
2. Erdélyi, A. et al., Higher Transcendental Functions, Vol. II, McGraw-Hill, 1953.
3. NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Section 18.3: “Hermite Polynomials.”
4. Koornwinder, T. H., “Generalizations of Hermite Polynomials,” in Orthogonal Polynomials: Theory and Practice, Springer, 2019.
5. Wolfram MathWorld, “Hermite Polynomial,” 2025.